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「ヘンペルのカラス」とは?1羽も調べずに黒いことを証明する方法がある!?

「この世にいるカラスが黒いことを証明して下さい」と言われたら?

世界中にいるカラスを1羽1羽調べる事は当然不可能ですが、

カラスを1羽も調べずに証明できる方法があるのです。

その方法は「ヘンペルのカラス」と呼ばれています。

カラスを調べずに、どうやって「カラスが黒い」ことを証明するのか?

パラバース博士

今回は「ヘンペルのカラス」の謎を詳しく解説します

パラバース博士

数学が苦手な方でも、イラストを使って分かりやすく解説するのでご安心下さい。

目次

「ヘンペルのカラス」とは?

ヘンペルのカラスは、ドイツの科学哲学者であるカール・ヘンペルが1940年代に提起しました。

「全てのカラスは黒い」を証明する方法を示したもので、対偶論法(たいぐうろんぽう)を使えば「全てのカラスが黒い」ことをカラスを1羽も調べずに証明できると示したのです。

ヘンペルの主張は以下の通り。

「全てのカラスが黒い」ことを証明するためには「全ての黒くないものはカラスではない」ことを証明すればよい。

一見矛盾しているように感じることから、カラスのパラドックスとも呼ばれます。

(厳密にはパラドックスではない)

対偶論法って何ですか?ちょっとよく分からないです💦

パラバース博士

これから詳しく説明します。

対偶論法(たいぐうろんぽう)とは?

対偶論法(たいぐうろんぽう)とは、数学的な証明方法の1つです。

数学には“命題”という概念があり「正しい&正しくない」を決める事柄です。

「AならばBである」のような表現で使われることが多く、これが正しいときは“正”、正しくないときは“偽”と呼びます。

数学の命題には以下の様な関係があります。

↑ある命題の“逆”と“裏”は正と偽が反対に、“対偶”では正か偽が同じになると言うこと。

パラバース博士

例を挙げてみましょう。「人間なら生き物である」は正ですか?偽ですか?

これは正しいので「正」です。

パラバース博士

正解です。では続いて「生き物なら人間である」これはどうでしょうか?

これは間違っているので「偽」です。人間以外にも、犬&猫、虫も生き物ですから。

パラバース博士

正解です!では「生き物でなければ人間ではない」これはどうでしょうか?

「人間=生き物」なので「生き物でない=人間はありえない」ですよね…?なので「正」ですか?

パラバース博士

正解です!

このように、命題には必ずこのような関係が成り立ちます。

ある命題とその対偶の「正」か「偽」は必ず一致します。

命題の正か偽を証明する方法が「対偶論法」であり、対偶論法を使えばカラスを調べずに「全てのカラスは黒い」と証明できる。

と言う理論を唱えたのがヘンペルだったのです。

なるほど〜でも、そんな上手くいくんですかね?

対偶論法を使った「全てのカラスは黒い」

では、ここから本題に入ります。

パラバース博士

先ほど説明したように「全てのカラスは黒い」が正であるとき、その対偶である「全ての黒くないものはカラスではない」は必ず正になります。

パラバース博士

↑「全ての黒くないものはカラスではない」が証明できれば「全てのカラスは黒い」を証明可能です。

「全ての黒くないものはカラスではない」ことの証明方法

世界中の全ての「黒くないもの」を集めて「カラスではない」ことを確認する必要があります。

ちょっとイメージがわきません…

パラバース博士

それでは、分かりやすくするために少し極端な例で考えてみましょう。

この地球上には

  • 人間
  • りんご
  • 黒猫
  • カラス

しか存在しないとします。

「全ての黒くないものはカラスではない」を証明するには、黒くないもの、つまり人間、りんご、木を全て観察して、カラスではないことを確認すればいいのです。

そうすると残りの黒い物の中にカラスがいることが分かります。

カラスを観察しなくても、人間・りんご・木を観察してカラスがいないことを確認すれば、残りのものは全て黒いので、「全てのカラスは黒い」と証明できます。

パラバース博士

結果「カラス」も「黒いもの」も調べることなく「全てのカラスが黒い」ことが証明できるのです。

なるほど。理屈はわかりました!

「ヘンペルのカラス」にはなぜ違和感があるのか?

ヘンペルのカラスの謎が解けても変な感じがします?黒いものも調べずにカラスが黒いことを証明できるなんて…

パラバース博士

実はヘンペルも、この違和感を伝えるためにこの問題を提唱したのです。

この違和感の正体って、何なんでしょう?

・調べなければいけないものが多すぎる、つまり現実味がない

・カラスを確認せずにカラスが黒いことを証明できてしまう矛盾感

正しいけれど矛盾しているように思えたり、間違っているように感じるものを「疑似パラドックス」といいます。

「ヘンペルのカラス」の落とし穴

パラバース博士

火星人は8本足である。これは「正」と「偽」どちらでしょうか?

火星人を見たことがないので分かりません…

パラバース博士

そうですね。これは「正」と「偽」どちらにも当てはまりません。

パラバース博士

ですが、対偶論法を使うと、宇宙に存在する8本足でないものをすべて調べて、火星人がいなければ「火星人は8本足である」と証明することができてしまいます。

あれ?本当だ…じゃあ、対偶論法ってそもそも間違いだったんですか?

パラバース博士

いえ、そうではありません。対偶論法は100%成立しうるものにしか適用できないのです。

「命題」とは、正か偽かが必ず決まる事柄です。

数学的な、例えば「2で割り切れるならば偶数である(正)」「7は10より大きい(偽)」は必ず正か偽のどちらかなので、命題であり、対偶論法を使うことができます。

対して「火星人が8本足である」は「正」「偽」どちらでもないので、命題ではなく、対偶論法も使えないのです。

パラバース博士

カラスについても、黒いものもいれば灰色がかったものもいるので、そもそも「カラスは黒い」が正か偽で決定できない、つまり命題でないと主張する意見もあります。

なるほど!曖昧なものに対偶論法は使えないのですね。

実は「白いカラス」もいる

アルビノのカラス

少し補足をすると、実は「全てのカラスは黒い」というのは間違っています。

というのも、アルビノと言う変種が実在しているからであり、決して「カラスの全ての個体が黒い」訳ではないからです。

まとめ

あらゆることが厳密に定義されている数学の世界においても、矛盾が生じているように感じられる。

それが、ヘンペルのカラスの面白いところです。

人間の直感というのが、いかに曖昧で信用のならないものなのかがよく分かりますね。

パラバース博士

その通りです。それが人間の弱みでもありますが、それと同時に面白いところでもあると思いませんか?

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